Géométries non-euclidiennes : diagrammes d'Escher (cercles limites) ou de ce type ; donner plusieurs modèles de géometries non-euclidiennes.

Il est bien difficile de donner une définition de la droite. En dehors de toute considération politique, il y a tout de même plusieurs points de vue qui donnent lieu à plusieurs types de définition. En géométrie affine, on peut retenir l'idée d'"alignement de points". (En géométrie métrique, ce serait l'idée de "plus court chemin" qui l'emporterait.)

A propos d'alignement, on peut s'aider de certaines oeuvres d'Escher, sur lesquelles, il s'avère qu'on pourrait aussi avoir un point de vue métrique. Par exemple, ci-contre, Escher remplit le plan avec des "pavés" en forme d'anges et de démons. Le remplissage est "régulier", aucune pièce n'en chevauche une autre, aucun "jour" n'est laissé entre deux pièces. En fait les pièces sont alignées, les alignements s'obtenant en traversant tantôt une pièce en forme d'ange, tantôt une pièce en forme de démon. Mais bien sûr, il y a d'autres alignements qui apparaissent, en biais (on les devine plutôt qu'on ne les voit, car le dessin n'est pas de taille assez grande ; voir ci-dessous).

Escher a utilisé ce qui semble être les mêmes pièces (anges et démons) pour faire ce qu'il appelle une "limite circulaire". Voir le modèle de géométrie hyperbolique dans le disque d'Escher. La droite AB y est soit un diamètre du cercle horizon passant par A et B, soit la trace du cercle passant par A et B et qui coupe le cercle horizon perpendiculairement.

Un autre modèle de géométrie hyperbolique : le demi-plan de Poincaré.

Encore un autre modèle de géométrie hyperbolique, dans le disque :

La droite AB est tout simplement la trace dans le disque de la droite euclidienne AB.

On peut aussi donner un modèle de "géométrie elliptique" dans le disque.

La droite AB est : soit un diamètre du cercle horizon (en jaune) passant par A et B, soit la trace du cercle (en vert) passant par A et B et qui intercepte un diamètre du cercle horizon.

Recette de la construction de la droite AB (dans le cas de la trace de cercle) :

Etant donné un point du cercle horizon, et son symétrique par rapport au centre O, ces deux points diamétralement opposés et le point A déterminent un cercle (son centre H : intersection des médiatrices des côtés du triangle). Construire de ce centre la droite perpendiculaire au rayon OA.

Recommencer à partir du point B. Le centre du cercle cherché sera le point d'intersection de ces deux droites (respectivement perpendiculaires à OA et à OB).

Il y a donc trois types de "géométrie plane" :

• la géométrie euclidienne,
• la géométrie hyperbolique,
• la géométrie elliptique.

En géométrie euclidienne, la somme des angles d'un triangle est 180°, et (ce qui est équivalent) on dispose de l'axiome des parallèles : étant donnés un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une et une seule droite qui ne rencontre pas celle-ci et qui passe par celui-là.

En géométrie hyperbolique, la somme des angles d'un triangle est < 180°, et (ce qui est équivalent) on dispose de l'axiome : étant donnés un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe au moins deux droites (en fait, une infinité) qui ne rencontrent pas celle-ci et qui passe par celui-là.

En géométrie elliptique, la somme des angles d'un triangle est > 180°, et (ce qui est équivalent) on dispose de l'axiome : étant donnés un point et une droite ne passant pas par ce point, il n'existe aucune droite qui rencontre celle-ci et qui passe par celui-là. Un assez bon exemple d'une telle géométrie est donné par la sphère.

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